 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
Центральная предельная теорема (central limit theorem)
Ц. п. т. касается распределения линейной композиции (или, проще, суммы) случайных величин.
Y яв-ся линейной композицией множества переменных (X1, Х2, Х3 и т. д.), если Y = a1Х1 + а2Х2 + а3Х3 +
..., где a
i
— соответствующие веса переменных. Напр., если Y = 3Х1 + 4Х2, то а1 = 3, а а2 = 4. Согласно Ц.
п. т., форма распределения Y начинает приобретать все большее сходство с нормальным
распределением по мере увеличения числа входящих в такую линейную композицию переменных. В
более точной формулировке Ц. п. т. гласит, что составная случайная величина Y имеет асимптотически
нормальное распределение, когда число образующих ее переменных стремится к бесконечности. Ц. п. т.
яв-ся одним из главных оснований регулярного использования психологами и статистиками
нормального распределения. Отметим, что эта теорема не требует нормального распределения
случайных величин, являющихся линейными составными элементами сложной случайной величины Y.
Y асимптотически нормально распределена, даже если образующие ее переменные имеют
распределения, принципиально отличающиеся от нормального. Возможно, это проще всего пояснить на
примере линейной композиции исходов бросания монеты. Допустим, что подбрасывается правильная
(симметричная) монета и случайное выпадение «орла» отмечается нулем (0), а случайное выпадение
«решки» — единицей (1). Этот эксперимент имеет два возможных исхода, и оба они равновероятны.
Если мы обозначим исход эксперимента через X, то можно принять, что Р (X = 0) = 0,5 и Р (X = 1) = 0,5.
Распределение случайной величины X изображено на рис. 1.
Рис. 1. Распределение X
Повторим этот простой эксперимент десять раз, получая значения для X1, Х2, Х3 ... Х
10
. Каждый из
X имеет одинаковое распределение. Можно создать новую переменную, являющуюся линейной
композицией X. Пусть Y = X1
+ Х2 + X3
+ ... + Х
10
.
Y представляет собой число «решек» в десяти
бросаниях правильной монеты, а его распределение показано на рис. 2. Отметим, что всего лишь с 10
переменными в нашей линейной композиции распределение Y имеет бесспорное сходство с
нормальным распределением. Если бы монета была подброшена 1000 раз, распределение суммы
исходов (Y) стало бы практически неотличимым от нормального распределения.
Рис. 2. Распределение Y
