 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
отношение к сумме. Но как эти две вещи связаны друг с другом — форма по-
следовательности и ее сумма, — какова внутренняя связь между ними, остается
неясным; я каким-то образом чувствую это, но не могу это понять».
Через некоторое время: «У ряда есть направление возрастания. У суммы нет
направления. Так вот: возрастание слева направо связано с соответствующим
убыванием справа налево! Этот факт должен иметь отношение к сумме.
>
все
больше и больше;
<
все меньше и меньше
— в той же пропорции. Если
двигаться слева направо, от первого числа ко второму, то увеличение будет
равно единице; если двигаться справа налево, от последнего числа к
предпоследнему, то уменьшение будет равно единице. Следовательно, сумма
первого и последнего числа должна быть той же, что и сумма следующей
внутренней пары. И это должно быть так всюду!»
«Остается только ответить на вопрос: сколько таких пар? Очевидно, что
число пар равно половине всех чисел, следовательно, равно половине
последнего числа».
В сущности, здесь происходит перегруппировка, реорганизация ряда в
свете данной задачи. Это не слепая перегруппировка, она естественно
возникает по мере того, как испытуемый старается постичь внутреннюю связь
143
между суммой ряда и его структурой. В этом процессе различные элементы
явно приобретают новый смысл, новое функциональное значение. 9 теперь
рассматривается не как 8+ 1, а как 10—1, и т. д.
Если подобным образом приходят к общей формуле
то рассматривают ее члены в свете такой структуры: (n+1) представляет
величину пары,
число пар. Но многие знающие только формулу, подходят
к ней совершенно слепо. Для них все формулы
попросту эквивалентны ¹. Для них, по-видимому, оба n означают одно и то же.
Они не осознают, что в случае первой формулы n в выражении n+1 является
одним из членов пары, тогда как n в
означает число членов ряда,
определяющее число пар. Конечно, эти четыре формулы приводят к одному и
тому же конечному результату и являются в некотором смысле
эквивалентными, но психологически они не эквивалентны ². В
действительности они различны и с логической точки зрения, если
