 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
„lex parsimoniae"».
Все предыдущие решения действительно содержали большее число шагов,
чем соответствующие разумные решения. Но этот внешний признак не должен
вводить вас в заблуждение. Он не имеет существенного значения.
Всегда ли такие «мудреные» действия необходимо содержат большее число
шагов? Всегда ли они «сложнее» соответствующих осмысленных действий?
Нет. В задачах на определение площади прямоугольника и параллелограмма
осмысленные действия структурно слишком просты, чтобы допустить
применение более короткого метода, но в учебниках по математике можно
обнаружить такие случаи. Рассмотрим, например, следующую задачу.
Какова сумма ряда:
S=l+a+a²+a³+a
4
...? (a<1)
Вот обычное решение:
1)
Напишите равенство
1. S = 1+а+a²+а³+а
4
+...
2)
Умножьте обе части
2. aS=a+a²+a³+a
4
+a
5
...
равенства на а
3)
Вычтите из первого ра- 3. S—aS= 1
венства второе
4)
Найдите S
Вот правильный результат:
он корректно получен, доказан и весьма элегантен из-за своей краткости.
Действительное понимание, разумный вывод формулы отнюдь не просты; для
этого требуется гораздо большее число нелегких шагов. Хотя многие и
вынуждены признать коррект-
66
ность описанных выше действий, они не испытывают чувства удовлетворения
и чувствуют себя обманутыми. Умножение на а, а затем вычитание одного
ряда из другого дает решение, но не приводит к пониманию того, как бес-
конечный ряд (точнее, последовательность его частичных сумм) приближается
в процессе роста к своему предельному значению¹. Подлинное понимание
исходит из рассмотрения роста ряда и приводит к закону роста, что позволяет
найти предел. Многие в действительности не достигают понимания. Они
удовлетворяются получением правильного ответа².
Существуют математические теоремы, которые в настоящее время имеют
