Navigation bar
  Print document Start Previous page
 61 of 302 
Next page End  

только «внешние» решения, потому что они остаются все еще слишком
сложными для конструктивного понимания. Крайними примерами их являются
некоторые случаи так называемого доказательства от противного, непрямого
доказательства, в котором используется принцип исключенного третьего,
показывающий, что принятие противоположной посылки невозможно,
поскольку оно ведет к противоречию. Но такое доказательство не позволяет
понять, как конструктивно достигается позитивное решение. Знаменитый
математик Брауэр презрительно называл такие непрямые доказательства
«позвоночным мышлением». Я не стану здесь выяснять, насколько
обоснованно его требование не признавать результаты, которые могут быть
получены только таким способом. Я лишь хочу подчеркнуть, что существует
огромное различие между осмысленным решением, основанным на понимании
сущности задачи, и решением, совершаемым посредством внешних действий.
1
Вот пример ответа испытуемого в одном из моих экспериментов: «Странно... умножение
на а ... зачем? Разве это приближает меня к цели?.. Вычитание — зачем? А теперь в 3) все, что я
знаю о структуре 5, исчезло! Разве я ищу сумму этого возрастающего ряда? Я знаю о ней не
больше, чем раньше, — только то, что она равна 1/1-a. Но почему? Как?»
2
Конечно, для профессионала и эта обычная процедура является осмысленной. Она
основана на понимании того, что при «сдвиге», то есть при умножении на а, ряд, за
исключением первого члена, не изменяется. И все же эта процедура остается внешней и не
предполагает действительного понимания того, как возникает сумма.
67
III
24. Прежде чем перейти к рассмотрению подлинных процессов мышления
детей в связи с определением площади параллелограмма, мы зададим
следующий вопрос: «Каковы этапы действительно разумного процесса опре-
деления площади прямоугольника?» Мы коротко перечислим этапы, которые
считаем существенными, основываясь на экспериментах с детьми и взрослыми.
1)
Предлагается задача: чему равна площадь прямоугольника? Еще не знаю.
Как я могу это узнать?
2)
Я чувствую,   что   должна   существовать   какая-то внутренняя связь
между величиной площади и формой прямоугольника. Какова эта связь? Как я
могу ее обнаружить?
3)
Площадь можно рассматривать как сумму маленьких квадратиков,
помещающихся в фигуре¹.
Hosted by uCoz