 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
(4.03)
[c.166]
где а(?)
не исчезает при отрицательных
?,
это значит, что мы не имеем больше ис
тинного оператора для
f(t),определяемого однозначно прошлым этой функции. Такое может встретиться в реальных
физических ситуациях. Например, динамическая система без входа может прийти в постоянные
колебания или даже в колебания, нарастающие до бесконечности, с неопределенной амплитудой. В
этом случае будущее системы не определяется ее прошлым, и мы, наверное, можем найти формализм, в
котором бы использовался оператор, зависящий от будущего.
Операция, посредством которой получено выражение (4.02) из f(t), имеет еще два существенных
свойства: 1) она не зависит от сдвига начального момента и 2) она линейна. Первое свойство
выражается утверждением, что если
,
(4.04)
то
.
(4.05)
Второе выражается утверждением, что если
,
(4.06)
то
.
(4.07)
Можно показать, что в некотором подходящем смысле всякий оператор для прошлого функции f(t),
линейный и инвариантный относительно сдвига начального момента, имеет вид (4.02) или является
пределом последовательности операторов этого вида. Например, f’(t) есть результат применения
оператора с такими свойствами к f(t), и потому [c.167]
,
(4.08)
где
(4.09)
Как мы уже видели, функции е
zt
составляют особенно интересное семейство с точки зрения оператора
(4.02), поскольку
,
(4.10)
и оператор задержки становится просто множителем, зависящим от z. Оператор (4.02) переходит тогда в
.
(4.11)
и также оказывается оператором умножения, зависящим только от z. Выражение
(4.12)
называется представлением, оператора (4.02) в виде функции частоты. Если z – комплексная величина
х+iy, где х и y – действительные числа, то (4.12) переходит в
(4.13)
Отсюда следует ввиду известного неравенства Шварца для интегралов, что если y>0 и
,
(4.14)
