 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
1) Р
n
есть предложение, связанное с числом n;
2) Р
n
доказано для n=1;
3) если Р
n
справедливо, то справедливо и Р
n+1
;
4) поэтому Р
n
справедливо для всякого положительного целого n. [c.198]
Конечно, где-то в наших логических посылках должна быть такая, которая бы оправдывала подобный
вывод. Тем не менее математическая индукция, о которой мы говорим, весьма отлична от полной
индукции по бесконечному множеству. Это относится и к более утонченным видам математической
индукции, таким, как трансфинитная индукция, встречающаяся в некоторых математических
дисциплинах.
В результате возникают весьма любопытные ситуации, когда мы можем, при достаточном времени и
достаточных вычислительных средствах, доказать каждый отдельный случай теоремы Р
n
, но, не
располагая систематическим способом объяснения этих доказательств в одном выводе, не зависящем от
n, как это было в математической индукции, не можем доказать Р
n
для всех n. Возможность такого
исхода признана в математике – дисциплине, столь блестяще развитой Г¸делем и его школой.
Доказательство есть логический процесс, который должен привести к определенному заключению через
конечное число шагов. Напротив, логическая машина, действующая по определенным правилам, не
обязательно должна прийти когда-либо к заключению. Она может продолжать свою работу шаг за
шагом, никогда не останавливаясь; при этом она будет либо совершать последовательность действий
все увеличивающейся сложности, либо повторять один и тот же процесс, подобно вечному шаху в
шахматах. Это действительно происходит в случае некоторых парадоксов Кантора и Рассела.
Рассмотрим, например, класс всех классов, не являющихся членами самих себя. Будет ли этот класс
членом самого себя? Если да, то он определенно не является членом самого себя; а если нет, он столь
же определенно обязан быть членом самого себя. Машина для решения этого вопроса будет
попеременно давать ответы “да”, “нет”, “да”, “нет” и т.д. и никогда не придет к равновесию.
Решение, некогда предложенное Бертраном Расселом для его парадоксов, состоит в том, что каждому
утверждению приписывается особая величина, так называемый “тип”, позволяющая нам различать
утверждения, на первый взгляд формально одинаковые сообразно природе предметов, к которым они
относятся: являются [c.199] ли эти предметы “вещами” в простейшем смысле, классами “вещей”,
классами классов “вещей” и т. д. Наш метод решения парадоксов также состоит в присвоении
некоторого параметра каждому утверждению: этим параметром служит момент времени, в который оно
высказано. В обоих случаях мы вводим папа-метр, который можно назвать параметром униформизации,
и с его помощью устраняем двусмысленность, которая была обусловлена лишь пренебрежением этим
параметром.
Мы видим, таким образом, что логика машины похожа на человеческую логику и, следуя Тьюрингу,
можем использовать логику машины для освещения человеческой логики. Имеет ли машина другое,
еще более яркое человеческое свойство – способность к обучению? Чтобы убедиться, что она может
иметь даже и это свойство, рассмотрим два тесно связанных понятия: ассоциацию идей и условный
рефлекс.
В английской эмпирической философской школе, от Локка до Юма, считалось, что содержание ума
состоит из определенных элементов, которые Локк называл идеями, а позднейшие авторы –
представлениями и впечатлениями. Предполагалось, что простые представления или впечатления
находятся в чисто пассивном уме, не влияющем на содержащиеся в нем идеи, так же как чистая
грифельная доска не влияет на символы, которые могут быть на ней начертаны. Предполагалось, что
благодаря некоторой внутренней деятельности, не заслуживающей, впрочем, названия силы, эти идеи
соединяются в группы по принципам сходства, смежности и причинной связи. Из этих принципов
наиболее важным признавался принцип смежности. Предполагалось, что представления и впечатления,
часто появлявшиеся вместе во времени или в пространстве, приобретают способность вызывать друг
друга, так что появление одного вызывает появление всей группы.
