 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
пространство, можно представить с помощью процесса групповой развертки. При таком процессе (он,
конечно, применим к пространству не только трех измерений) сетка точек в пространстве обегается в
одномерной последовательности, а точки этой сетки распределены так, что в некотором, соответственно
определенном, смысле они подходят к каждой точке области. Таким образом, сетка будет содержать
точки, сколь угодно близкие к любой выбранной точке. Если эти “точки” (или системы параметров)
действительно используются для выбора соответствующих преобразований, то нетрудно видеть, что в
результате применения этих преобразований к данной Фигуре мы сколь угодно приблизимся к любому
преобразованию этой фигуры, осуществимому в данной групповой области. Если наша развертка
достаточно мелка и преобразуемая область имеет максимальное протяжение средн всех областей,
преобразуемых группой, то обегаемые при развертке преобразования дадут в результате область,
покрывающую сколь угодно большую часть площади любого преобразования исходной области³.
[c.214]
Пусть теперь мы сравниваем некоторую область с другой фиксированной областью, взятой за эталон.
Если на каком-либо этапе развертки группы образ сравниваемой области, полученный с помощью
одного из развертываемых преобразований, совпадает с фиксированным эталоном в пределах
допустимого расхождения, то это совпадение регистрируется, и обе области считаются подобными.
Если такого совпадения не происходит ни на каком этапе развертки, области считаются неподобными.
Этот процесс легко поддастся механизации и может быть использован для распознания формы фигуры,
независимо от ее размеров и ориентации и от тех преобразований, которые могут быть в
развертываемой групповой области.
Если эта область не составляет всей группы, то может оказаться, что область А будет подобна области
В, область В будет подобна области С, но область А не будет подобна области С. Так бывает и в
действительности. Фигура может не иметь сходства с такой же фигурой, но перевернутой, по крайней
мере, не иметь его при первом впечатлении, в котором не участвуют процессы более высокого порядка.
Однако на каждом этапе переворачивания может найтись достаточно соседних положений,
представляющихся подобными. Образованные таким путем общие “представления” не являются
совершенно различными, но незаметно переходят друг в друга.
Существуют и более тонкие способы использования групповой развертки при абстрагировании
универсалий из группы преобразований. Рассматриваемые нами группы имеют “групповую меру” –
плотность вероятности, которая зависит от самой группы и не меняется с умножением всех
преобразований группы справа или слева на любое данное преобразование группы. Можно
развертывать группу так, что для достаточно обширного класса групповых областей плотность
развертки области (т.е. время, в течение которого переменный развертывающий элемент находится
внутри области при полном развертывании группы) будет почти пропорциональна ее групповой мере.
Пусть теперь, при такой равномерной развертке, мы встречаемся с величиной, зависящей от некоторого
множества элементов S, преобразуемого группой, и пусть это множество S [c.215] преобразуется всеми
преобразованиями группы. Обозначим через Q(S) величину, зависящую от S, и обозначим через TS
образ множества S при преобразовании Т из нашей группы. Тогда при замене S на TS величина Q(S)
примет значение Q(TS). Усредняя или интегрируя эту величину относительно групповой меры для
группы преобразований Т, получим величину примерно такого вида:
(6.01)
где интегрирование производится по групповой мере. Величина (6.01) будет тождественна для всех
множеств S, переходящих друг в друга при преобразованиях группы, т.е. для всех множеств S, имеющих
в некотором смысле одну и ту же форму, один гештальт. Можно сравнивать формы приближенно, если
интеграл в формуле (6.01) брать не по всей группе и если подынтегральная функция Q(TS) мала в
отбрасываемой области. На этом мы простимся с групповой мерой.
В последние годы обратили внимание на проблему протезирования одного потерянного чувства с
помощью другого. Наибольшей решительностью отличалась попытка создать читающие аппараты для
слепых, снабженные фотоэлементами. Мы будем предполагать, что эти усилия ограничиваются
