 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
Пусть мы анализируем кривую, у которой большая часть мощности сосредоточена вблизи частоты 10
гц. Умножив эту кривую на косинус или синус от 20
?
t, получим кривую, являющуюся суммой двух
составляющих: одна из них ведет себя локально примерно так:
Усреднив вторую кривую по интервалу в 0,1 сек, получим нуль. Усреднив первую кривую, получим
половину максимальной высоты. Таким образом, сглаживая С(t)cos20?t и iС(t)sin20?t, мы получим
хорошие приближения соответственно к действительной и мнимой части некоторой функции, имеющей
все свои частоты в окрестности пуля, и эта функция будет обладать таким же распределением частоты
вокруг нуля, какое одна часть спектра кривой C(t) имела вокруг 10.
Обозначим теперь через K1(t) результат сглаживания произведения С(tcos20?t, а через K2(t) – результат
сглаживания произведения С(tsin20?t. Мы хотим найти [c.276]
(10.07)
Выражение (10.07) должно быть действительным, так как это спектр. Следовательно, оно будет равно
(10.08)
Другими словами, если найти косинус-преобразование от K1 и синус-преобразование от K2 и сложить их
друг с другом, то мы получим смещенный спектр функции f. Можно показать, что K1 будет четной, a K2
– нечетной функцией. Стало быть, если определить косинус-преобразование от K1 и прибавить или
вычесть синус-преобразование от K2, мы получим спектр соответственно справа и слева от центральной
частоты на расстоянии
?.
Этот метод получения спектра мы будет называть методом
гетеродинирования.
Коль скоро автокорреляционные кривые локально представляют собой почти синусоиду с периодом,
скажем, 0,1 сек (как в случае автокорреляции мозговых волн на рис. 9), то вычисления, связанные с
методом гетеродинирования, можно упростить. Мы берем нашу автокорреляцию через интервалы в 1/40
сек. Затем берем последовательность значений при 0, 1/20, 2/20, 3/20 сек и т.д. и меняем знак на дробях
с нечетным числителем. Усредняя по очереди эти значения по достаточно длинному отрезку, получим
величину, приблизительно равную K1(t). Взяв аналогично значения автокорреляции при 1/40, 3/40, 5/50
сек и т. д. с чередующимися знаками и проведя такое же усреднение, получим приближенную величину
K2(t). Дальнейшая процедура очевидна.
Оправдание этой процедуры следующее. Распределение массы, равное
1 в точках 2
?
n,
–1 в точках (2n+1)?
и
0 во всех остальных точках,
если его подвергнуть гармоническому анализу, будет [c.277] содержать косинусоидальную
составляющую с частотой 1 и не будет иметь синусоидальной составляющей. Точно так же
распределение массы, равное
