 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
,
(10.13)
где переменные
?
k
образуются всеми возможными способами путем отождествления всех пар
переменных
?
k
, друг с другом (если n четно)
, и образовав
(10.14)
Если n нечетно, то
(10.15)
Другая важная теорема, касающаяся этих стохастических интегралов, гласит: пусть F(g) – функционал
[c.281] от g(t), такой, что F[x(t, ?)] ????
функция, принадлежащая к
L по
?
и зависящая только от
разностей x(t2, ?)–х(t1, ?);
тогда для любого
t
:
и почти всех
?
(10.16)
Это эргодическая теорема Биркгоффа, доказанная некогда автором
и другими.
В упомянутой статье из “Acta Mathematica” установлено, что если U – действительное унитарное
преобразование функции K(t), то
,
(10.17)
где
?
отличается от
?
только сохраняющим меру преобразованием интервала (0 1) в себя.
Пусть теперь К(t) принадлежит к L², и пусть
(10.18)
в смысле Планшереля
. Рассмотрим действительную функцию
,
(10.19)
изображающую отклик линейного преобразователя на броунов вход. Она будет иметь автокорреляцию
,
(10.20)
[c.282]
которая, в силу эргодической теоремы, почти для всех значений а будет равна
