 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
нелинейные системы. В результате нелинейная электротехника пришла в состояние, подобное
состоянию птолемеевой системы астрономии в последний период ее существования, когда
нагромождали эпицикл на эпицикл, поправку на поправку, пока все это латаное сооружение не рухнуло
под собственной тяжестью. [c.30]
Как из крушения перенапряжений птолемеевой системы возникла коперникова система с ее простым и
естественным гелиоцентрическим описанием движений небесных тел, заменившим сложную и
запутанную картину геоцентрической птолемеевой системы, так и для изучения нелинейных устройств
и систем, электрических или механических, естественных или искусственных была необходима
совершенно новая отправная точка. Я попытался нащупать новый подход в своей книге “Нелинейные
задачи в теории случайных процессов”².
Оказывается, что с переходом к нелинейным явлениям тригонометрический анализ теряет ту ведущую
роль, которая ему принадлежит в изучении линейных явлений. Это имеет четкое математическое
объяснение. Процессы в электрических цепях, как и многие другие физические явления,
характеризуются инвариантностью при сдвиге начала отсчета во времени. Физический опыт, начатый в
полдень и достигший определенного состояния к 2 часам дня, должен достигнуть такого же состояния к
2.15, если мы начнем его в 12.15. Таким образом, физические законы говорят об инвариантах группы
сдвигов во времени.
Тригонометрические функции sin nt и cos nt обнаруживают важные инвариантные свойства
относительно той же группы сдвигов. Функция общего вида e
it
перейдет в функцию
e
i?(t+?)
= e
i??
e
i?t
того же вида при сдвиге, который получается прибавлением
?
к
t. Как следствие,
a cos n (t + ?) + b sin n (t + ?) = (a cos n? + b sin n?) cos nt + (b cos n? – a sin n?) sin nt =
= a1 cos nt + b1 sin nt.
Иными словами, семейства функций
Ае
i?t
и
A
cos ?t + B sin ?t
инвариантны при сдвиге. [c.31]
Но существуют и другие семейства функции, инвариантные при сдвигах. Если рассматривать так
называемое случайное блуждание, когда перемещение частицы за любой промежуток времени имеет
распределение, зависящее от длительности этого промежутка и не зависящее от событий, происшедших
до его начала, то ансамбль случайных блужданий также перейдет в себя при временном сдвиге.
Иными словами, инвариантность при сдвигах – это свойство тригонометрических кривых, которым
обладают также другие множества функций.
В дополнение к этой инвариантности, тригонометрические функции характеризуются свойством
Ае
i?t
+ Ве
i?t
= (А + В)е
i?t
благодаря которому они образуют чрезвычайное простое линейное множество. Легко заметить, что это
свойство связано с линейностью, т. е. мы можем свести все колебания данной частоты к линейной
комбинации двух колебаний. Именно это специфическое свойство обусловливает роль гармонического
анализа при изучении линейных свойств электрических цепей. Функции
е
i?t
суть характеры группы переносов и дают нам линейное представление этой группы³.
