 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
попадание в какую-либо точку, может состоять из совокупности событий, каждое из которых имеет
вероятность 0.
Тем не менее в гиббсовой статистической механике применяется, хотя и неявно (Гиббс нигде не отдает
себе в этом ясного отчета), разложение сложного события в бесконечную последовательность частных
событий – первого, второго, третьего и т.д., – каждое из которых имеет известную вероятность;
вероятность этого более широкого события находится затем как сумма вероятностей частных событий,
образующих бесконечную последовательность. Таким образом, вероятности нельзя складывать во всех
мыслимых случаях для получения полной вероятности, ибо сумма любого числа нулей равна нулю; но
их можно складывать, коль скоро существует первый, второй, третий член и т. д., образующие
последовательность событий, в которой каждый член имеет определенное место, задаваемое
положительным целым числом.
Чтобы провести различие между этими двумя случаями, необходимы довольно тонкие изыскания о
природе [c.101] множеств событий, а Гиббс был хотя и очень сильный, но не очень тонкий математик.
Может ли класс быть бесконечным и в то же время существенно отличным по мощности от другого
класса, например от класса натуральных чисел? Эту задачу решил в конце прошлого столетия Георг
Кантор, и ответ был “да”. Если мы рассмотрим все десятичные дроби, конечные и бесконечные,
лежащие между нулем и единицей, то, как известно, их нельзя расположить в порядке “один, два,
три…”, хотя – удивительно – мы можем расположить так все конечные десятичные дроби. Поэтому
проведение различия, требуемого в статистической механике Гиббса, не является само по себе
невозможным. Услуга, оказанная Лебегом теории Гиббса, заключалась в доказательстве того, что
неявные требования статистической механики относительно событий нулевой вероятности и сложения
вероятностей событий действительно могут быть удовлетворены и что теория Гиббса не содержит
противоречий.
Однако работа Лебега была непосредственно связана не с требованиями статистической механики, а с
другой, как будто весьма далекой от нее, теорией – теорией тригонометрических рядов. Последняя
восходит к физике XVIII в., изучавшей волны и колебания, и к спорному тогда вопросу об общности
возможных движений линейной системы, полученных сложением ее простых колебаний, – колебаний,
при которых течение времени лишь умножает отклонения системы от равновесия на положительный
или отрицательный множитель, зависящий только от времени, но не от положения. Таким образом, одна
функция выражается в виде суммы ряда. Коэффициенты этих рядов выражаются как средние
произведения представляемой функции на данную весовую функцию. Вся теория основана на
соотношениях между средним значением ряда и средними значениями отдельных членов. Заметим, что
среднее значение величины, равной единице на интервале от нуля до А и нулю на интервале от А до 1,
равно А и что его можно рассматривать как вероятность для случайной точки находиться в интервале от
0 до А, если известно, что она находится между 0 и 1. Иными словами, теория, необходимая для
определения среднего значения ряда, очень близка к той, которая необходима для [c.102] адекватной
трактовки вероятностей, выводимых из бесконечной последовательности случаев. Вот почему Лебег,
решая свою задачу, решил также задачу Гиббса.
Распределения, исследуемые Гиббсом, сами допускают динамическую интерпретацию. Если мы
рассматриваем консервативную динамическую систему весьма общего вида с N степенями свободы, то
координаты положений и скоростей такой системы можно привести к особой системе 2N координат, из
которых N называются обобщенными координатами положения и N – обобщенными импульсами. Эти
координаты определяют 2N-мерное пространство² и в нем 2N-мерный объем. Возьмем произвольную
область этого пространства и заставим точки перемещаться с течением времени. Каждый набор 2N
координат перейдет тогда в новый набор, зависящий от истекшего времени, но непрерывное изменение
границ области не изменит ее 2N-мерного объема. В общем случае для множеств, не столь простых,
понятие объема порождает систему меры лебегова типа. В этой системе меры и в консервативных
динамических системах, преобразуемых так, что мера сохраняется постоянной, сохраняет постоянство и
другая скалярная величина – энергия. Если все тела системы действуют только друг на друга и в
системе нет сил, связанных с фиксированным положениями и фиксированными направлениями в
пространстве, то остаются постоянными еще два выражения, оба векторные: количество движения и
