 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
траектория, даже бесконечной длины, не может покрыть целиком область на плоскости. Последователи
Гиббса и, по-видимому, в конце концов сам Гиббс смутно поняли это и заменили свою гипотезу другой,
квазиэргодической гипотезой, которая утверждает лишь, что с течением времени система в общем
случае проходит неограниченно близко к каждой точке в области фазового пространства определенной
известными интервалами. Логически такая гипотеза вполне приемлема, но она совершенно
недостаточна для тех выводов, которые Гиббс основывает на ней. Она ничего не говорит об
относительном времени пребывания системы в окрестности каждой точки. [c.105]
Помимо понятии среднего и меры (иначе говоря, среднего по всему пространству от функции, равной 1
на измеряемом множестве и 0 вне его), необходимых в первую очередь для разбора идей Гиббса, мы
нуждаемся при оценке действительного значения эргодической теории в более точном анализе понятия
инварианта, как и понятия группы преобразований. Эти понятия, несомненно, были известны Гиббсу,
как показывают его работы по векторному анализу. Тем не менее можно утверждать, что он не оценил в
полной мере их философского значения. Подобно своему современнику Хевисайду, Гиббс принадлежал
к типу ученых, у которых физико-математическая проницательность часто опережает их логику и
которые обыкновенно бывают правы, но часто не в состоянии объяснить, почему и как.
Для существования любой науки необходимо, чтобы существовали явления, которые не оставались бы
изолированными. Если бы мир управлялся серией чудес, совершаемых иррациональным богом с его
внезапными прихотями, то мы были бы вынуждены ждать каждой новой катастрофы в состоянии
пассивного недоумения. Подобную картину мира встречаем мы в крокетной игре, описанной в “Алисе в
стране чудес”
. В этой игре молотки – фламинго, шары – ежи, которые спокойно разворачиваются и
идут по своим делам, ворота – карточные солдаты, точно так же способные совершать движения по
собственной инициативе, а правила игры определяются декретами вспыльчивой королевы червей
,
поведение которой невозможно предугадать.
Существо эффективного правила игры или полезного закона физики состоит в том, что правило можно
установить заранее и применять во многих случаях. В идеале закон должен описывать свойство
рассматриваемой системы, остающееся всегда тем же самым в потоке частных событий. В простейшем
случае берется свойство, инвариантное относительно множества преобразований, которым
подвергается система. Так мы приходим к [c.106] понятиям преобразования, группы преобразований и
инварианта.
Преобразование системы есть изменение, при котором каждый элемент переходит в другой элемент.
Изменение Солнечной системы в промежуток между моментами времени t1 и t2 есть преобразование
координат планет. Аналогичное изменение их координат при перемещении нами начала координат при
повороте наших геометрических осей также есть преобразование. Изменение масштаба, происходящее,
когда мы наблюдаем препарат в микроскоп, – еще один пример преобразования”
Если за преобразованием А следует преобразование В, то в результате получается преобразование,
называемое произведением, или результирующим преобразованием ВА. Заметим, что произведение,
вообще говоря, зависит от порядка преобразований A и В. Например, если А – преобразование,
переводящее координату х в координату у, а у – в х, оставляя z без изменений, и если В переводит х в z, а
z
– в х, оставляя у без изменений, то ВА будет переводить х в у, у – в z и z – в х, а АВ будет переводить х в
z, у – в х и z – в у. Если АВ и ВА совпадают, то говорят, что А и В перестановочны.
Иногда, но не всегда, преобразование А не только переводит каждый элемент системы в элемент, но
обладает еще тем свойством, что каждый элемент оказывается результатом преобразования одного из
элементов. В этом случае существует такое единственное преобразование А
–1
, что каждое из
произведений АА
–1
и А
–1
A представляет собой особое, вырожденное преобразование, которое
называется тождественным преобразованием I и преобразует каждый элемент в самого себя. В этом
случае мы называем преобразование А
–1
обратным к преобразованию А. Очевидно, что А обратно к А
–1
,
что I обратно к самому себе и что обратное преобразование к АВ есть B
–1
A
–1
.
Существуют множества преобразований, в которых: 1) каждое преобразование, принадлежащее к
данному множеству, имеет обратное преобразование, также принадлежащее к этому множеству, и 2)
