 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
Эти результаты изложены здесь очень грубо, без точной формулировки условий их справедливости.
Более строгое изложение теории читатель может найти в работе, указанной в примечании
. [c.110]
Наряду с теорией линейных инвариантов группы, существует также общая ее метрических инвариантов.
Последние представляют собой системы меры Лебега, не претерпевающие изменений, когда объекты,
преобразуемые группой, переставляются операторами группы. В этой связи следует упомянуть
интересную теорию групповой меры, которую дал Гаар
. Как мы видели, всякая группа сама есть
собрание объектов, которые переставляются между собой при умножении на операторы данной группы.
Поэтому она может иметь инвариантную меру. Гаар доказал, что некоторый довольно широкий класс
групп имеет однозначно определенную инвариантную меру, задаваемую строением самой группы.
Наиболее важное применение теории метрических инвариантов группы преобразований состоит в
обосновании взаимной заменимости фазовых и временных средних, которую, как мы видели выше,
Гиббс тщетно пытался доказать. Это доказательство было выполнено на основе так называемой
эргодической теории.
В обычных эргодических теоремах рассматривается ансамбль Е, меру которого можно принять за
единицу, и этот ансамбль преобразуется в себя сохраняющим меру преобразованием Т или группой
сохраняющих меру преобразований Т
?
, где –?<?<
?
и
(2.14)
Эргодическая теория имеет дело с комплексным функциями f(х) элементов х из Е. Во всех случаях f(х)
считается измеримой по х, а если мы рассматриваем непрерывную группу преобразований, то f(Т
?
х)
считается измеримой по х и ? вместе.
В эргодической теореме Купмена – фон Неймана о сходимости в среднем функция f(х) считается
принадлежащей к классу L²; это значит, что
(2.15)
Теорема утверждает, что [c.111]
(2.16)
или соответственно
(2.17)
сходится в среднем к пределу f
*
(х) при N
>?
или соответственно при А
>?
в том смысле, что
(2.18)
(2.19)
