 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
Итак, сообщение, однородное во времени, или, как выражаются профессионалы-статистики, временной
ряд, находящийся в статистическом равновесии, есть функция или множество функций времени,
входящее в ансамбль таких множеств с правильным распределением вероятностей, не изменяющимся,
если всюду заменить t на t+?. Иначе говоря, вероятность ансамбля инвариантна относительно группы
преобразований, состоящей из операторов T
?
которые изменяют f(t) в f(t+?). Группа удовлетворяет
условию
(3.15)
Следовательно, если Ф[f(t)] – “функционал” от f(t), т.е. число, зависящее от всей истории функции f(t), и
среднее значение f(t) по всему ансамблю конечно, то мы вправе применить эргодическую теорему
Биркгоффа из предыдущей главы и заключить, что всюду, исключая множество значений f(t) нулевой
вероятности, существует временное среднее от Ф[f(t)], или в символах
(3.16)
[c.128]
Но это еще не все. В предыдущей главе проводилась другая теорема эргодического характера,
доказанная фон Нейманом: коль скоро некоторая система переходит в себя при данной группе
сохраняющих меру преобразований, как в случае нашего уравнения (3.15), то, за исключением
множества элементов нулевой вероятности, каждый элемент системы входит в подмножество (быть
может, равное всему множеству), которое: 1) переходит в себя при тех же преобразованиях; 2) имеет
меру, определенную на нем самом и также инвариантную при этих преобразованиях; 3) замечательно
тем, что любая часть этого подмножества с мерой, сохраняемой данной группой преобразований, имеет
либо максимальную меру всего подмножества, либо меру 0. Отбросив все элементы, не принадлежащие
к такому подмножеству, и используя для него надлежащую меру, мы найдем, что временное среднее
(3.16) почти во всех случаях равно среднему значению функционала Ф[f(t)] по всему пространству
функций f(t), т.е. так называемому фазовому среднему. Стало быть, в случае такого ансамбля функции
f(t), за исключением множества случаев нулевой вероятности, мы можем найти среднее значение
любого статистического параметра ансамбля по записи любого временного ряда ансамбля, применяя
временное среднее вместо фазового. Более того, этим путем можно найти одновременно любое счетное
множество таких параметров ансамбля, и нам нужно знать лишь прошлое одного, почти какого угодно
временного ряда ансамбля. Другими словами, если дана вся прошлая история – вплоть до настоящего
момента – временного ряда, принадлежащего к ансамблю в статистическом равновесии, то мы можем
вычислить с вероятной ошибкой, равной нулю, все множество статистических параметров ансамбля, к
которому принадлежит ряд. До сих пор мы установили это для отдельного временного ряда, но
сказанное справедливо также для многомерных временных рядов, где вместо одной изменяющейся
величины мы имеем несколько одновременно изменяющихся величин.
Теперь мы можем рассмотреть различные задачи, относящиеся к временным рядам. Ограничимся
случаями, в которых все прошлое временного ряда может быть задано счетным множеством величин.
Например, для [c.129] довольно широкого класса функций f(t) (–? < t <
?)
функция
f(t) полностью
определена, если известно множество величин
,
(n=0, 1, 2, …)
(3.17)
