 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
Пусть теперь А – некоторая функция от будущих значений t, т.е. от значений аргумента, больших нуля.
Тогда мы можем определить совместное распределение величин (a
0
, a1, ..., а
n
, A) из прошлого одного,
почти любого временного ряда, если множество функций f берется в самом узком возможном смысле. В
частности, если даны все a
0
, ..., а
n
, то мы можем найти распределение функции А. Здесь мы прибегаем к
известной теореме Никодима об условных вероятностях. Та же теорема гарантирует нам, что это
распределение при весьма общих условиях стремится к пределу, когда п>?,
и этот предел даст нам
полные сведения относительно распределения любой будущей величины. Мы можем таким же образом
определить по известному прошлому совместное распределение значений любого множества будущих
величин или любого множества величин, зависящих от прошлого и от будущего. Если теперь нам дана
некоторая подходящая интерпретация “наилучшего значения” статистического параметра или
множества статистических параметров – например, в смысле математического ожидания, или медианы,
или моды, – то мы можем вычислить это значение из известного распределения и получить
предсказание, удовлетворяющее любому желательному критерию надежности предсказания. Мы можем
численно оценить качество предсказания, применяя какой угодно статистический показатель качества:
среднеквадратическую ошибку, максимальную ошибку, среднюю абсолютную ошибку и т.д. Мы можем
вычислить количество информации о любом статистическом параметре или множестве статистических
параметров, которое дает нам фиксация прошлого. Можно даже вычислить количество информации о
всем будущем после определенного момента, даваемое нам знанием прошлого. Правда, если этот
момент – настоящее, то, вообще говоря, мы будем знать о нем из прошлого, и наше знание настоящего
будет содержать бесконечно много информации. [c.130]
Другой интересной проблемой является проблема многомерных временных рядов, в которых мы точно
знаем лишь прошлое нескольких составляющих. Распределение величины, зависящей от более богатого
прошлого, может изучаться методами, весьма близкими к уже рассмотренным. В частности, нам может
понадобиться узнать распределение значений другой составляющей или множества значений других
составляющих в некоторый момент прошлого, настоящего или будущего. К этому классу относится и
общая задача о волновом фильтре. Даны сообщение и шум, скомбинированные некоторым образом в
искаженное сообщение, прошлое которого нам известно. Нам известно также статистическое
совместное распределение сообщения и шума как временных рядов. Мы ищем распределение значений
сообщения в данный момент прошлого, настоящего или будущего. Затем мы разыскиваем оператор,
который, будучи применен к прошлому искаженного сообщения, восстановит истинное сообщение
наилучшим образом, в данном статистическом смысле. Мы можем также искать статистическую оценку
какой-либо меры ошибок в нашем знании сообщения. Наконец, мы можем искать количество
информации, которым располагаем в сообщении.
Особенно простым и важным является ансамбль временных рядов, связанный с броуновым движением.
Броуновым движением называется движение частицы газа, толкаемой случайными ударами других
частиц под действием теплового возбуждения. Теория его была разработана многими исследователями,
в частности Эйнштейном, Смолуховским, Перреном и автором
. Если только мы не спускаемся по
шкале времени до столь малых промежутков, что становятся различимыми отдельные удары частиц по
данной частице, броуново движение обнаруживает любопытное явление недифференцируемости.
Средний квадрат перемещения частицы в данном направлении за данный промежуток времени
пропорционален длине этого промежутка, а перемещения за [c.131] последовательные промежутки
времени совершенно не коррелируются между собой. Это вполне согласуется с физическими
наблюдениями. Если мы нормируем шкалу броунова движения соответственно шкале времени и будем
рассматривать только одну координату х, положив x(t)=0 для t=0, то вероятность того, что при
0
?
t1?t2…
?
t
n
частицы находятся между х1 и x1+dx1 в момент t1 между х2 и x2+dx2 в момент t2, ..., между x
п
и x
п
+dх
п
в момент t
n
равна
.
(3.18)
