Navigation bar
  Print document Start Previous page
 77 of 200 
Next page End  

[c.133]
где сумма берется по всем разбиениям величин t1, ..., t
n
на различные пары, произведение по всем
парам в каждом разбиении. Другими словами, если нам известны средние значения попарных
произведений величин x(t
j
, ?),
то нам известны и средние значения всех многочленов от этих величин и,
следовательно, их полное статистическое распределение.
До сих пор мы рассматривали броуновы перемещения x (t
j
,?),
в которых
t положительно. Положив
,
(3.23)
где
?
и
?
имеют независимые равномерные распределения в интервале (0, 1), получим распределен
ие
для
?(
t, ?, ?),
где
t пробегает всю бесконечную действительную ось. Существует хорошо известный
математический прием отобразить квадрат на прямолинейный отрезок таким образом, что площадь
преобразуется в длину. Надо лишь записать координаты квадрата в десятичной форме
(3.24)
и положить
,
и мы получим искомое отображение, являющееся взаимно однозначным почти для всех точек как
прямолинейного отрезка, так и квадрата. Используя эту подстановку, введем
.
(3.25)
Теперь мы хотим определить в некотором подходящем смысле
(3.26)
Сразу приходит мысль определить указанное выражение как интеграл Стильтьеса
, но это встречает
[c.134] препятствие в том, что
?
представляет собой весьма нерегулярную функцию от
t. Однако если К
приближается достаточно быстро к нулю при t>
?
и является достаточно гладкой функцией, то
разумно положить
(3.27)
При этих условиях мы формально получим
Hosted by uCoz