 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
[c.136]
где сумма берется по всем разбиениям величин
?
1
, …, ?
n
на пары, а произведение – по парам в каждом
разбиении. Выражение
(3.34)
изображает очень важный ансамбль временных рядов по переменной t, зависящих от некоторого
параметра распределения
?.
Доказанное нами равносильно утверждению, что все моменты и,
следовательно, все статистические параметры этого распределения зависят от функции
(3.35)
представляющей собой известную в статистике автокорреляционную функцию со сдвигом
?.
Таким
образом, распределение функции f(t, ?)
имеет те же статистики, что и функция
f(t+t1, ?);
и
действительно, можно доказать, что если
,
(3.36)
то преобразование параметра
?
в Г сохраняет меру. Другими словами, наш временной ряд
f(t, ?)
находится в статистическом равновесии.
Далее, если мы рассмотрим среднее значение для
(3.37)
то оно состоит в точности из членов выражения
(3.38)
[c.137]
и из конечного числа членов, имеющих множителями степени выражения
,
(3.39)
если последнее стремится к нулю при
?>?,
то (3.38) будет пределом выражения (3.37). Другими
словами, распределения функций f(t, ?)
и
f(t+?, ?)
становятс
я асимптотически независимыми, когда
?>?.
Более общим, но совершенно аналогичным рассуждением можно показать, что одновременное
распределение функций f(t1, ?), ..., f(t
n
, ?)
и функций
f(?+s1, ?), …, f(?+s
m
, ?)
стремится к совместному
распределению первого и второго множества, когда
?>?.
Другими словами, если
F[f (t, ?)] – любой
