 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
,
(3.61)
или
.
(3.62)
Очевидно, что если а конечно, то безразлично, какое значение мы ему дадим; в самом деле, наш
оператор не [c.141] изменится от прибавления одной и той же величины ко всем значениям
?.
Поэтому
можно взять а=0. Таким образом, мы определили
?
как функцию от
G и, следовательно, G – как
функцию от
?.
Из (3.55) следует, что мы тем самым опре
делили K(t, ?).
Для завершения расчетов нам
нужно только найти b. Это число можно определить сравнением выражений
(3.63)
и
.
(3.64)
Таким образом, если при некоторых условиях, которые еще остается точно сформулировать, временной
ряд допускает запись в виде (3.46) и известна функция
?(
t, ?)
то мы можем определить функцию
K(t, ?)
в
(3.46) и числа а и b с точностью до неопределенной константы, прибавляемой к а, ?
и
b. Не возникает
особых трудностей при b>+?,
также не слишком сложно распространить эти рассуждения на случай
а> –?.
Конечно, предстоит проделать еще немалую работу, рассматривая задачу обращения функций в
случае, когда результаты не однозначны, и общие условия справедливости соответствующих
разложений. Тем не менее мы по крайней мере сделали первый шаг к решению задачи приведения
обширного класса временных рядов к каноническому виду, что чрезвычайно важно для конкретного
формального применения теорий предсказания и измерения информации, намеченных выше в этой
главе.
Имеется, однако, одно очевидное ограничение, которое мы должны устранить из этого наброска теории
временных рядов, а именно необходимость знать
?(
t, ?), и временной ряд, который мы разлагаем в виде
(3.46). Вопрос ставится так: при каких условиях временной ряд с известными статистическими
параметрами можно представить как ряд, определяемый броуновым движением, или по крайней мере
как предел (в том или ином смысле) временных рядов, определяемых броуновым движением? Мы
ограничимся временными рядами, [c.142] обладающими свойством метрической транзитивности и даже
следующим более сильным свойством: если брать интервалы времени фиксированной длины, но
отдаленные друг от друга, то распределения любых функционалов от отрезков временного ряда в этих
интервалах приближаются к независимости по мере того, как интервалы отдаляются друг от друга
.
Соответствующая теория уже излагалась автором.
Если K(t) – достаточно непрерывная функция, то можно показать, что нули величины
(3.65)
