 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
по теореме М. Каца, почти всегда имеют определенную плотность и что эта плотность при подходящем
выборе К может быть сделана сколь угодно большой. Пусть выбрано такое К
D
, что плотность равна D.
Последовательность нулей величины
,
от –?
до
?
обозначим через
Z
n
(D, ?), –?<n<–?.
Ко
нечно, при нумерации этих нулей индекс п
определяется лишь с точностью до аддитивной целочисленной константы.
Пусть теперь T(t, ?) – произвольный временной ряд от непрерывной переменной t, а
?
– параметр
распределения временных рядов, изменяющийся равномерно в интервале (0, 1). Пусть далее
,
(3.66)
где Z
n
– нуль, непосредственно предшествующий моменту t. Можно показать, что, каково бы почти ни
было
?,
для любого конечного множества значений
t1, t2, …, t
v
переменной х одновременное
распределение величин T
D
(t
k
, ?, ?) (k=1, 2, ..., v) при D>?
будет приближаться к одновременному
распределению величин T(t
k
, ?)
для тех же
t
k
при D>?.
Но
T
D
(t
k
, ?, ?)
полностью определяется
величинами t
k
, ?, D. Поэтому вполне уместно попытаться выразить T
D
(t
k
, ?, ?) [c.143] для данного D и
данного
?,
либо прямо в виде (3.46), либо некоторым образом в виде временного ряда, распределение
которого является пределом (в указанном свободном смысле) распределении этого типа.
Следует признать, что все это изображает скорее программу на будущее, чем уже выполненную работу.
Тем не менее эта программа, по мнению автора, дает наилучшую основу для рационального,
последовательного рассмотрения многих задач в области нелинейного предсказания, нелинейной
фильтрации, оценки передачи информации в нелинейных системах и теории плотного газа и
турбулентности. К ним принадлежат, быть может, самые острые задачи, стоящие перед техникой связи.
Перейдем теперь к задаче предсказания для временных рядов вида (3.34). Мы замечаем, что
единственным независимым статистическим параметром такого временного ряда является функция
Ф(t), определенная формулой (3.35). Это значит, что единственной значащей величиной, связанной с
K(t), является
(3.67)
Конечно, здесь К – величина действительная.
Применяя преобразование Фурье, положим
.
(3.68)
Если известно K(s), то известно k(?), и обратно. Тогда
(3.69)
Таким образом, знание Ф(t) равносильно знанию k(?)k(–?).
Но поскольку
K(s) действительно, то
