 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
из фундаментальных аксиом о единственности прямой, проходящей через точку не лежащую
на заданной прямой и не пересекающей данную прямую. И что в результате? Он получил
непротиворечивую геометрию, но в которой уже нет прямых в обычном непосредственном
восприятии; в лучшем случае в геометрии Лобачевского прямые — это дуги или хорды.
Таким образом, геометрия Лобачевского есть искаженное отражение действительности; она
есть не что иное, как искривленное зеркало, в которое мы пытаемся взглянуть на мир, в чем,
кстати сказать, и состоит ее особое значение. Но геометрия Евклида есть ровное, гладенькое
зеркало, где присутствуют обычные прямые и где существует единственная параллельная
прямая. Здесь мы видим, что определенность аксиомы, будучи отрицаема в своей истинности
приводит к непротиворечивой математики (ибо аксиомы не связаны друг с другом). Но
искривленное зеркало геометрии Лобачевского воочию показала относительность
математики; ибо в условиях геометрии Лобачевского, на тех объектах и отношениях между
ними, которые рассматривал он, аксиома о параллельности не выполнена. Примечательно то,
что геометрия Лобачевского нашла связь с теорией относительности Эйнштейна. А именно,
сложение отрезков в геометрии Лобачевского есть сложение скоростей в теории
относительности Эйнштейна. И если мыслить себе вселенную однородной (что условно, и
есть своего рода предел (как и скорость света) рассмотрения вселенной с макрокосмического
уровня), то пространство имеет геометрию Лобачевского. Удивительный факт: геометрия
Лобачевского показывает относительность математики и связана с теорией относительности
Эйнштейна!
Далее, если мы на мгновение поверим в теорему Геделя о неполноте аксиоматики
теории чисел, где, кстати сказать, аксиомы обладают той непосредственной наивностью, с
которой трудно не согласиться, не исказив восприятие мира, то тогда нам придется признать,
что существуют утверждения в математике, которые не лежат в сфере логического вывода.
Но мы их не можем принять за аксиомы, ибо они не обладают той непосредственной
очевидностью, которую мы можем принять на веру (кстати сказать, вопрос о
непротиворечивости математики есть вопрос веры, и вопрос о верности аксиомы есть вопрос
веры в ее истинность). Таким образом, нам придется признать существование «темных
лошадок», «таинственных звезд» — математических утверждений, которые мы не можем
принять за аксиомы, и которые лежат вне сферы логического вывода (это странно, ибо
математические утверждения формулируются в рамках логики и на математических
объектах), но которые, тем не менее, обладают не отрицаемой истинностью (в силу
определенности их бытия) и остаются для нас загадками. Ну а тогда нам придется признать
печальную истину о непознаваемости мира даже в сфере рационального вывода, где царят
только «да» или «нет». (Бедняжка Математика, тогда ты обречена быть загадкой для самой
себя!)
В качестве иллюстрации теоремы Геделя часто приводится следующий пример:
существует ли множество, мощность которого меньше мощности континуума (количество
чисел на интервале от ноля до единицы), но больше мощности множества натуральных чисел
(счетного, которое можно пересчитать). На этот вопрос до сих пор не удается получить
какого-либо ответа. Но отметим, что это вопрос о существовании. Здесь дело обстоит
сложнее. Есть два пути доказательства существования. Первый состоит в непосредственном
предъявлении объекта, то есть конструктивный путь; второй состоит в рассуждении от
противного: предположим, что такого объекта нет, или он есть, и найдем противоречие, то
есть, мы заранее предполагаем необходимость существования этого объекта или отвергаем
ее. Но в нашем случае не удается построить или найти в математике объект с необходимой
мощностью, что говорит о том, что он в принципе и не нужен; он не возникает в математике
естественно и необходимо; в противовес чему множество вещественных чисел, как и
