 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
Здесь читатель вправе задать вопрос, что же из всего этого следует. Та же
самая формула, которая была известна раньше, но она предстала теперь в
новом свете: члены этой формулы приобрели прямое функциональное
значение.
И такое понимание сразу же привело к озарению (инсайту): если боковые
стороны и то или иное их число являются внешними, если существенным
оказывается только вращение углов ?, то это относится к любой замкнутой
плоской кривой, к окружности, эллипсу, и т. д. ... (Я опускаю продолжение.)
7) Но проблема все еще не была окончательно решена. По мере того как она
становилась ясной, возникало насущное требование: если такой ход
рассуждения действительно имеет смысл, то тогда он должен иметь силу для
любой замкнутой фигуры. Он должен быть справедливым для трехмерных
многогранников, для четырехмер-
232
ных и n-мерных тел, вообще для всех замкнутых фигур... с необходимыми
изменениями для неевклидового пространства.
За шесть недель напряженной работы мне удалось по-настоящему понять
трехмерные фигуры. (Годом позже я узнал, что один математик уже очень
давно нашел формулу для многогранников, и все же я не хотел пройти мимо
этого опыта, который привел меня к подлинному инсайту.) В течение этих
недель проблема неизменно волновала меня, вызывала напряжение. Я изучал
конкретные многогранники, например кубы, части кубов, некоторые пирамиды
и т. д.; способы объединения телесных углов в полный телесный угол. За это
время я значительно развил в себе способность визуально представлять
телесные углы и соединять их в воображении. Я не искал формулы методом
проб и ошибок, не проверял гипотезы; я просто выяснял, что получится, если
телесные углы воображаемого конкретного многогранника соединятся в одной
точке: например, как углы куба, сведенные в центр сферы, образуют полный
телесный угол ¹, какие суммы образуют другие углы других многогранников —
частей куба, пирамид, параллелепипедов и т. д.
Бывали очень драматические моменты, как, например, когда один из моих
друзей сказал мне: «Перестань принимать это так близко к сердцу. Задача
неразрешима, так как сумма углов пирамиды меняется при изменении ее
высоты. Точнее, она является функцией высоты».
8) Но процесс мышления продолжал развиваться. После огромных усилий
решение для трехмерных тел
