 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
Другими словами, если бы площадь определялась посредством вычислений,
которые произвел мальчик, то фигура совсем не обязательно должна была бы
быть прямоугольником. Подошла бы любая другая фигура, составленная из
прилегающих малых квадратов. Действия ученика не учитывают внутреннюю
связь фигуры с операцией умножения.
Подобное структурное понимание (или отсутствие такового) играет
решающую роль и в переносе. Вот короткий пример: в экспериментальных
целях ребенку показывают, как определяется площадь квадрата. Он овладевает
приемом и применяет его в различных случаях, а затем его просят определить
площадь прямоугольника. Он не может ее найти. Я спрашиваю: «Почему бы
тебе не поступить таким же образом, как ты это делал в случае с квадратом?»
Он колеблется, а затем говорит: «Не могу... здесь стороны не равны».
Но если бы на примере квадрата он действительно разобрался в сути дела,
понял бы, что площадь следует рассматривать как произведение числа
квадратов, лежащих в основании, на число рядов, то перенос не вызвал бы ни-
каких затруднений. В этом случае равенство сторон квадрата не было бы
помехой, оно структурно было бы периферическим явлением, не имеющим
существенной связи с решением.
Перенос может быть и слепым. Без такого понимания можно просто слепо
считать, что и площадь прямоугольника определяется произведением двух его
сторон. Если называть и этот случай обобщением, то следует ясно понимать,
что существует важное различие между структурно слепыми, или
бессмысленными, обобщениями и обобщениями осмысленными.
21. Мне могут возразить: «Почему вы говорите о понимании внутренней
структуры, внутренних требований, подразумевая при этом, что схватывание
структурных при-
63
знаков в ваших примерах делает действия осмысленными? А что вы скажете о
неевклидовых ситуациях? Что если мы выберем для нашей геометрии другие
аксиомы? То, что разумно в одной системе, может быть бессмысленным в
другой. То, что вы говорите, может показаться разумным только тем, кто
разделяет наивную старомодную веру в важность только евклидовых аксиом».
Это возражение несостоятельно: оно не затрагивает существа вопроса.
Неевклидова геометрия обладает своими собственными структурными
признаками, но и в новом, более широком контексте сохраняют силу
требования осмысленности. После введения признака пространственной
