 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
момент количества движения системы в целом. Их нетрудно исключить и тем самым заменить данную
систему системой с меньшим числом степеней свободы.
В сугубо частных системах могут быть и другие величины, не определяемые энергией, количеством
движения и моментом количества движения, также не меняющиеся с эволюцией системы. Известно,
однако, что системы с другими инвариантными величинами, зависящими от начальных координат и
импульсов динамической системы и достаточно регулярными, чтобы [c.103] допускать интегрирование
на основе меры Лебега, в действительности очень редки, в некотором вполне точном смысле³. В
системах, не имеющих других инвариантных величин, можно фиксировать координаты,
соответствующие энергии, количеству движения и общему моменту количества движения, и тогда в
пространстве остальных координат мера, определяемая координатами положении н импульсов,
определит сама некоторую подмеру, подобно тому, как мера в трехмерном пространстве определит
площадь на двумерной поверхности для заданного семейства двумерных поверхностей. Например,
пусть мы имеем семейство концентрических сфер; объем между двумя сближаемыми
концентрическими сферами (если его нормировать, приняв за единицу полный объем области между
двумя сферами) в пределе даст меру площади на поверхности сферы.
Применим теперь эту новую меру к одной из областей фазового пространства, для которой определена
энергия, общее количество движения и общий момент количества движения, и предположим, что в
системе нет других измеримых инвариантных величин. Пусть полная мера этой ограниченной области
постоянна; изменяя масштаб, се можно приравнять единице. Поскольку наша мера была получена из
меры, инвариантной во времени, способом, инвариантным во времени, она и сама инвариантна. Мы
назовем эту меру фазовой мерой, а средние по этой мере – фазовыми средними.
Но всякая величина, изменяющаяся во времени, может иметь также среднее значение по времени –
временное среднее. Например, если f(t) зависит от t, то временное среднее для прошлого равно
,
(2.01)
а временное среднее для будущего
(2.02)
[c.104]
В гиббсовой статистической механике встречаются как временные, так и пространственные средние.
Блестящей идеей Гиббса была попытка доказать, что эти средние в некотором смысле тождественны.
Догадка Гиббса о связи двух типов средних совершенно правильна, но метод, которым он пытался
доказать эту связь, был совершенно и безнадежно неверным. В этом его вряд ли можно винить.
Интеграл Лебега стал известен в Америке лишь к моменту смерти Гиббса. В течение еще пятнадцати
лет он был музейной редкостью и применялся только, чтобы продемонстрировать молодым
математикам, до какой степени могут быть доведены требования математической строгости. Такой
выдающийся математик, как У.Ф. Осгуд, не хотел его признать до конца своей жизни
. Лишь около
1930 г. группа математиков – Купмен, фон Нейман, Биркгофф
– установила наконец прочные основы
статистической механики Гиббса. Каковы были эти основы, мы увидим дальше, когда познакомимся с
эргоднческой теорией.
Сам Гиббс думал, что в системе, из которой удалены все инварианты – лишние координаты, почти все
пути точек в фазовом пространстве проходят через все координаты такого пространства. Эту гипотезу
он назвал эргодической, от греческих слов
?????
– “работа” и
????
– “путь”. Но как показал Планшерель
и другие, ни в одном реальном случае эта гипотеза не оправдывается. Никакая дифференцируемая
