 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
В эргодической теореме Биркгоффа о сходимости “почти всюду” функция f(х) считается
принадлежащей к классу L; это значит, что
(2.20)
Функции f
N
(х) и f
A
(х) определяются, как в (2.16) и (2.17). Теорема утверждает
, что для всех значений х,
за исключением множества нулевой меры, существуют пределы
(2.21)
и
(2.22)
Особенно интересен так называемый эргодический, или метрически транзитивный, случай, когда
преобразование Т или множество преобразований Т
?
не оставляет инвариантным ни одно множество
точек х с мерой, отличной от 1 и 0. В таком случае множество значений (для обеих эргодических
теорем), на которых f
*
(х) пробегает заданный интервал, почти всегда есть 1 или 0. Это возможно только
при том условии, что [c.112] f
*
(х) почти всегда постоянна. Тогда f
*
(х) почти всегда равна
(2.23)
Таким образом, в теореме Купмена мы получаем предел в среднем
(2.24)
а в теореме Биркгоффа
(2.25)
за исключением множества значений х меры (или вероятности) 0. Аналогичные результаты имеют
место в непрерывном случае. Это служит достаточным обоснованием производимой Гиббсом замены
фазовых и временных средних.
Для случая, когда преобразование Т или группа преобразований Т
?
не являются эргодическими, фон
Нейман показал, что при очень общих условиях они могут быть сведены к эргодическим
составляющим. Это значит, что, отбросив множество значений х нулевой меры, Е можно разбить на
конечное или счетное множество классов Е
n
и континуум классоd Е(у), таких, что на каждом Е
n
и Е(у)
устанавливается мера, инвариантная при Т и Т
?
. Все эти преобразования эргодические, и если S(y) –
пересечение множества S с Е(у), S
n
– пересечение множества S с Е
n
, то
(2.26)
