 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
,
(3.70)
откуда
. Следовательно, |k(?)|² есть известная функция, а потому действительная часть
log|k(?)|
также есть известная функция.
[c.144]
Если записать
(3.71)
то нахождение функции K(s) эквивалентно нахождению мнимой части log k(?).
Это задача
неопределенная, если не наложить дальнейшего ограничения на k(?).
Налагаемое ограничение б
удет
состоять в том, что log k(?)
должен быть аналитической функцией и иметь достаточно малую скорость
роста относительно
?
в верхней полуплоскости. Для выполнения этого условия предположим, что
k(?)
и [k(?)]
–1
возрастают вдоль действительной оси алгебраически. Тогда [F(?)]² будет четной и не более,
чем логарифмически бесконечной функцией, и будет существовать главное значение Коши
для
(3.72)
Преобразование, определяемое выражением (3.72), называется преобразованием Гильберта; оно
изменяет cos ?? в sin ?? и sin ?? в –cos ??. Следовательно,
F(?)+iG(?)
есть функция вида
(3.73)
и удовлетворяет требуемым условиям для log |k(?)|
в нижней полуплоскости.
Если теперь положить
,
(3.74)
то можно показать, что при весьма общих условиях функция K(s), определяемая формулой (3.68), будет
обращаться в нуль для всех отрицательных аргументов. Таким образом,
(3.75)
[c.145]
С другой стороны, можно показать, что 1/k(?)
записывается в виде
