 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
3)
Разве недостает наглядности в доказательстве? Нет, некоторые примеры
содержат доказательство.
60
Если мы рассмотрим конкретные действия в этих диких примерах,
посмотрим, как ученики подходят к задаче, каким образом отдельные этапы
мышления связаны с его» общим направлением, то ответ покажется
очевидным: я хочу решить задачу, я столкнулся с проблемной ситуацией; я
хочу понять, как можно прояснить задачу, чтобы достичь ее решения. Я
стараюсь понять, как определяется площадь, как она «встроена» в эту фигуру; я
хочу понять это. Вместо этого приходит некто и говорит, что я должен делать
то-то и то-то, например вычислить 1/а, или 1/b, или (а— b), или (а—b)², то есть
делать вещи, внутренне совершенно не связанные с задачей, ведущие меня в
другом направлении, — в направлении, чуждом задаче. Почему я должен
делать именно это? Мне говорят: «И все-таки делай», а затем добавляется
новый шаг, опять ведущий в непонятном направлении. Эти шаги совершенно
непонятны, их содержание, направление, весь процесс не обусловлены
внутренними требованиями ситуации, кажутся произвольными, не связанными
с вопросом, каким образом площадь структурно строится из меньших единиц
именно в такой форме. В конце концов эти шаги приводят к правильному или
даже доказанному результату. Но сам этот результат воспринимается так, что
он не приводит к пониманию и ничего не проясняет. И это относится ко всем
примерам и с доказательствами, и без доказательств.
«Послушайте, — скажет возмущенный читатель, — а не требуете ли вы от
человеческого мышления слишком многого?» Нет, не требую; к счастью,
встречаются не столь слепые процессы.
19. Как показывают реакции детей, позитивный, продуктивный ход
мышления имеет совершенно иной характер. Вопрос о площади в смысле
суммы маленьких единичных квадратов рассматривается в связи с фигурой,
в связи с ее характерной формой; ребенок обнаруживает, что существуют
параллельные ряды, которые прилегают друг к другу, равны друг другу,
содержат одинаковое число маленьких квадратов. Затем число квадратов в
одном таком ряду, определяемое длиной одной из сторон, умножается на
число рядов, определяемое длиной другой стороны. Здесь важно понять, что
площадь структурирована в соответствии с характерной формой фигуры. Ни
один из предполагаемых шагов не является произвольным, не связанным с
внутренней природой проблемной ситуация.
