 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
только «внешние» решения, потому что они остаются все еще слишком
сложными для конструктивного понимания. Крайними примерами их являются
некоторые случаи так называемого доказательства от противного, непрямого
доказательства, в котором используется принцип исключенного третьего,
показывающий, что принятие противоположной посылки невозможно,
поскольку оно ведет к противоречию. Но такое доказательство не позволяет
понять, как конструктивно достигается позитивное решение. Знаменитый
математик Брауэр презрительно называл такие непрямые доказательства
«позвоночным мышлением». Я не стану здесь выяснять, насколько
обоснованно его требование не признавать результаты, которые могут быть
получены только таким способом. Я лишь хочу подчеркнуть, что существует
огромное различие между осмысленным решением, основанным на понимании
сущности задачи, и решением, совершаемым посредством внешних действий.
1
Вот пример ответа испытуемого в одном из моих экспериментов: «Странно... умножение
на а ... зачем? Разве это приближает меня к цели?.. Вычитание — зачем? А теперь в 3) все, что я
знаю о структуре 5, исчезло! Разве я ищу сумму этого возрастающего ряда? Я знаю о ней не
больше, чем раньше, — только то, что она равна 1/1-a. Но почему? Как?»
2
Конечно, для профессионала и эта обычная процедура является осмысленной. Она
основана на понимании того, что при «сдвиге», то есть при умножении на а, ряд, за
исключением первого члена, не изменяется. И все же эта процедура остается внешней и не
предполагает действительного понимания того, как возникает сумма.
67
III
24. Прежде чем перейти к рассмотрению подлинных процессов мышления
детей в связи с определением площади параллелограмма, мы зададим
следующий вопрос: «Каковы этапы действительно разумного процесса опре-
деления площади прямоугольника?» Мы коротко перечислим этапы, которые
считаем существенными, основываясь на экспериментах с детьми и взрослыми.
1)
Предлагается задача: чему равна площадь прямоугольника? Еще не знаю.
Как я могу это узнать?
2)
Я чувствую, что должна существовать какая-то внутренняя связь
между величиной площади и формой прямоугольника. Какова эта связь? Как я
могу ее обнаружить?
3)
Площадь можно рассматривать как сумму маленьких квадратиков,
помещающихся в фигуре¹.
