 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
светильного газа, от скорости всасывания воздуха и удаления продуктов сгорания и от процентного
состава взрывчатой смеси светильного газа и воздуха.
Вообще говоря, нелинейные системы уравнений трудно решать. Существует, однако, случай, легко
поддающийся исследованию, когда система лишь немного отличается от линейной, и члены,
составляющие [c.179] различие, изменяются так медленно, что их можно считать, по существу,
постоянными за период колебания. В этом случае нелинейная система может исследоваться так, как
если бы это была линейная система с медленно изменяющимися параметрами. Системы, допускающие
подобный подход, носят название систем с вековыми возмущениями; теория систем с вековыми
возмущениями играет важнейшую роль в гравитационной астрономии.
Кажется вероятным, что некоторые виды физиологических треморов можно рассматривать
приближенно как линейные системы с вековыми возмущениями. На такой системе легко понять,
почему амплитуда стационарного колебания может оказаться столь же определенной, как и частота.
Пусть одним из элементов такой системы будет усилитель, коэффициент усиления которого
уменьшается по мере того, как увеличивается некоторое долговременное среднее входного сигнала.
Тогда с ростом колебаний системы коэффициент усиления может упасть, пока не будет достигнуто
состояние равновесия.
Нелинейные системы релаксационных колебаний исследовались в ряде случаев методами, которые
разработали Хилл и Пуанкаре
4
. Классическими примерами являются случаи, когда системы
описываются уравнениями дифференциального характера, особенно если эти дифференциальные
уравнения низшего порядка. Насколько мне известно, не существует какого-либо сравнимого
исследования соответствующих интегральных уравнений, когда будущее системы зависит от всего ее
прошлого. Однако нетрудно представить себе, какой вид должна иметь такая теория, особенно если мы
ищем лишь периодические решения. В этом случае небольшое изменение коэффициентов уравнения
должно вызывать небольшое и, следовательно, приблизительно линейное изменение уравнений
движения.
Например, пусть Op[f(t)] – функция от f, полученная нелинейной операцией из f(t) и подвергаемая
сдвигу. Тогда вариация ?Op[f(t)] функции Op[f(t)], соответствующая вариационному изменению ?f(t)
функции f(t) и известному изменению динамики системы, [c.180] является линейной, но неоднородной
относительно ?f(t), хотя она нелинейна относительно f(t). Если теперь мы знаем некоторое решение f(t)
уравнения
Op [f (t)] = 0
(4.55)
и изменим динамику системы, то получим линейное неоднородное уравнение для ?f(t). Если
(4.56)
и сумма f(t)+?f(t) также периодическая, имея вид
,
(4.57)
то
.
(4.58)
Все коэффициенты в линейных уравнениях для ?f(n) разлагаются в ряд по е
i?nt
, поскольку f(t) сама
разложима в такой ряд. В результате получим бесконечную систему линейных неоднородных
уравнений относительно ?a
n
+a
n
, ?? и ?, и она может оказаться разрешимой методами Хилла. В этом
случае можно, по крайней мере, представить, что, отправляясь от линейного (неоднородного) уравнения
и понемногу снимая ограничения, мы можем прийти к решению весьма общей нелинейной задачи о
релаксационных колебаниях. Однако это дело будущего.
Системы управления с обратной связью, рассмотренные в этой главе, и компенсационные системы,
рассмотренные в предыдущей, до некоторой степени конкурируют между собой. Те и другие служат
для приведения сложных отношений между входом и выходом эффектов к виду, близкому к простой
пропорциональности. Как мы видели, система обратной связи дает большее: ее поведение сравнительно
независимо от характеристики применяемого эффектора и изменений этой характеристики. Какой из
двух методов управления лучше, зависит, следовательно, от того, насколько постоянна характеристика
эффектора. Естественно предположить, [c.181] что могут быть случаи, когда выгодно сочетать оба
метода. Для этого существуют разные способы.
