 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
произведение любых двух преобразований, принадлежащих к данному множеству, само принадлежит к
этому множеству. Такие множества носят название групп преобразований. [c.107] Множество всех
сдвигов или по прямой, или в плоскости, или в трехмерном пространстве есть группа преобразований;
более того, оно принадлежит к группам преобразований особого рода, называемым абелевыми
группами
, где любые два преобразования перестановочны. Напротив, множество поворотов около
точки и множество всех перемещений твердого тела в пространстве суть неабелевы группы.
Предположим теперь, что имеется какая-то величина, связанная со всеми элементами, преобразуемыми
данной группой преобразований. Если эта величина не изменяется, когда каждый элемент изменяется
одним и тем же преобразованием группы, каково бы ни было это преобразование, то она называется
инвариантом группы. Существует много разновидностей таких инвариантов. Из них для наших целей
особенно важны две.
Первая разновидность – так называемые линейные инварианты. Обозначим через х элементы,
преобразуемые абслевой группой, и пусть f(x) – комплексная функция этих элементов, обладающая
надлежащими свойствами непрерывности или интегрируемости. Тогда, если Тх – элемент, получаемый
из х при преобразовании Т, a f(x) – функция с абсолютным значением 1, такая, что
f (Tx) = ?(T) f(x),
(2.03)
где
?(
T) – число с абсолютным значением 1, зависящее только от Т, то f(x) мы будем называть
характером группы.
Это инвариант группы в несколько обобщенном смысле. Ясно, что если f(x) и g(x) – характеры группы,
то f(x)g(x) также есть характер группы, как и [f(x)]
–1
. Если какая-либо функция h(x), определенная на
группе, представима линейной комбинацией характеров группы, скажем в виде
,
(2.04)
где f
k
(x) – характер группы, и если
?
k
(T) находится в таком же отношении к f
k
(x), как
?(
T) – к f(x) в (2.03),
то [c.108]
(2.05)
Таким образом, коль скоро h(x) допускает разложение по некоторому множеству характеров группы, то
и h(Tx) при всех Т допускает такое разложение.
Мы видели, что характеры группы порождают другие характеры при умножении и обращении;
нетрудно видеть также, что константа 1 есть характер. Следовательно, умножение на характер
порождает группу преобразований самих характеров; последняя называется группой характеров
исходной группы.
Если исходная группа есть группа сдвигов по бесконечной прямой, то оператор Т изменяет х в х+Т и
соотношение (2.03) переходит в соотношение
,
(2.06)
которое выполняется при f(x)=e
i?x
, ?(T)= e
i?T
. Характерами будут функции e
i?x
, а группой характеров
будет группа сдвигов, изменяющая ? в ?+? и, следовательно, имеющая такое же строение, как и
исходная группа. Но дело будет обстоять иначе, если исходная группа состоит из поворотов по
окружности. В этом случае оператор Т изменяет х в число, лежащее между 0 и 2
?
и отличающееся от
