 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
х+Т на целочисленное кратное 2
?.
Соотношение (2.06) еще справедливо, но у нас появляется
добавочное условие
.
(2.07)
Положив вновь f(x) = e
i?x
, получим
.
(2.08)
Это значит, что ? должно быть целым действительным числом – положительным, отрицательным или
нулем. Следовательно, группа характеров здесь соответствует сдвигам целых действительных чисел. С
другой стороны, если исходная группа есть группа сдвигов целых чисел, то х и Т в (2.06) могут
принимать только целочисленные значения и функция e
i?x
задается полностью числом, лежащим между
0 и 2
?
и отличающимся от
? на целочисленное кратное 2
?.
Следовательно, группа характеров в этом
случае по существу представляет собой группу поворотов по окружности.
В любой группе характеров числа
?(
T), соответствующие данному характеру f, распределены таким
образом, [c.109] что эти распределение не нарушается при умножении их всех на
?(
S), каков бы ни был
элемент S исходной группы. Иначе говоря, если есть какое-то разумное основание взять среднее от этих
чисел, не затрагиваемое, когда группа преобразуется умножением каждого ее преобразования на одно
фиксированное, то либо
?(
Т) тождественно равно 1, либо наше среднее инвариантно относительно
умножения на числа, отличные от 1, и потому должно равняться 0. Отсюда можно заключить, что
среднее произведение характера на величину, с ним сопряженную (которая также является характером),
будет равно 1, а среднее произведение характера на величину, сопряженную с другим характером, будет
равно 0. Другими словами, если h(x) представлено как в (2.04), то
(2.09)
Для группы поворотов по окружности это дает нам сразу, что если
(2.10)
то
(2.11)
Для сдвигов же по бесконечной прямой результат тесно связан с тем обстоятельством, что если в
некотором подходящем смысле
(2.12)
то в определенном смысле
(2.13)
