 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
Исходя из создаваемой этим системы вероятностей, вполне однозначной, мы можем ввести на
множестве путей, соответствующих различным возможным броуновым перемещениям, такой параметр
?,
лежащий между 0 и 1, что: 1) каждый путь будет функцией
x(t,?),
где
х зависит от времени t и
параметра распределения
?
и 2) вероятность данному пути находиться в данном множестве
S будет
равна мере множества значений
?,
соответствующих путях, находящимся в
S. Поэтому почти все пути
будут непрерывными и недифференцируемыми.
Весьма интересен вопрос об определении среднего значения произведения x(t, ?), …, x(t
n
, ?)
относительно
?.
Это среднее равно
(3.19)
при условии 0
?
t1 ?…? t
n
. Положим
(3.20)
[c.132]
где
?
k,1
+?
k,2
+…+?
k,n
=n.Тогда выражение (3.19) примет значение
.
(3.21)
Здесь первая сумма берется по j; вторая – по всем способам разбиения п элементов на пары в группах,
включающих соответственно
?
k,1
, …, ?
k,n
элементов; произведение – по парам значений k и q, где
?
k,1
элементов среди выбранных t
k
и t
q
равны t1, ?
k,2
элементов равны t2 и т.д. Отсюда сразу же следует
(3.22)
