 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
Формула (6.5.1) может быть использована в различных перестановках,
к примеру:
l
x
= l
x+1
+ d
x
; d
x
= l
x
–
l
x+1
, и т.д.
Вероятность смерти в возрасте «х» (в возрастном интервале от «х» до
«х+1»)
q
x
—
определяется в соответствии с правилами теории
вероятностей как отношение числа умирающих в возрасте «х» –
d
x
к числу
доживающих до этого возраста, т.е. l
z
. В виде формулы эта связь выглядит
так:
.
x
x
x
l
d
q
(6.5.2)
Из формулы хорошо видно, что вероятность смерти q
x
можно
интерпретировать и как долю умирающих в возрасте «х» из числа
доживающих до начала возрастного интервала «х».
Напротив, вероятность дожития до возраста «х + 1» — р
х
для тех, кто
дожил до возраста «х» (до начала возрастного интервала «х»), будет
определяться как отношение числа доживающих до возраста «х + 1» к числу
доживших до возраста «х» (до начала возрастного интервала «х»). Запишем
эту связь в виде формулы:
.
1
x
x
x
l
l
P
(6.5.3)
Отсюда можно так же, как и в предыдущей формуле, видеть, что
вероятность дожития есть не что иное, как доля переживающих возраст «х»
из числа доживающих до его начала.
Формулы (6.5.2) и (6.5.3) так же, как и (6.5.1), используются в виде
различных преобразований, например: l
x+1
= l
x
р
х
; d
x
= l
x
q
x
b
и
т. д.
Поскольку мы рассматриваем смертность, то в пределах одного
возрастного интервала возможна только единственная альтернатива: либо
пережить этот интервал и благополучно отметить следующий день
рождения, либо, увы, не дожить до него. Иначе говоря, сумма вероятностей
дожития до следующего возраста либо умереть, не дожив до него, равна
единице, что можно изобразить в виде формулы:
q
x
+ р
х
=
1. (6.5.4)
Эта простейшая формула оказывается, однако, очень полезной, так как,
зная одну из двух вероятностей, всегда легко найти вторую (вычитанием из
единицы).
Начав прослеживать закономерное уменьшение чисел доживающих с
основания таблицы смертности, замечаем вскоре, что: l1 = l
0
p
0
.
Если основание таблицы l
0
= 1, то, естественно, l
0
в формуле можно
опустить, и она примет вид: l1 = р
0
.
Далее, следуя той же логике: l2 = l1p1. Подставим вместо l1 его
значение из предыдущей формулы (l1 = р
0
). Получим: l2 = р
0
p1. Затем: l3 =
l2р2 = p
0
p1p2 и т.д. Отсюда, кстати, видно, что число доживающих — нечто
иное, как произведение вероятностей дожития, или, иначе говоря, оно само
— тоже вероятность, вероятность для новорожденного дожить до возраста
«х». В обобщенном виде эту связь можно записать и так:
l
x
= p
0
p1p3 x ………. x p
x-1
. (6.5.5)
Поскольку в практических расчетах основание таблицы смертности
принимается равным не 1, а 10000 и чаще всего 100000, то l
0
опускать не
приходится и формула (6.5.5) выражается в следующем виде:
